Albert Einstein stellte seine Allgemeine Relativitätstheorie zwischen 1907 und 1916 auf. Sie gilt heute als klassische Theorie der Gravitation. Ausgehend von der Beschreibung von Trägheitskräften in der Speziellen Relativitätstheorie, dem Machschen Prinzip und dem Äquivalenzprinzip erkannte Einstein, dass die Gravitation, wie wir sie kennen, als Krümmung der Raumzeit manifestiert wird. Die Newtonsche Gravitationstheorie ist hier als nichtrelativistischer Grenzfall enthalten und obwohl sich die Vorhersagen der ART nur minimal von denen Newtons unterscheiden, wurde sie bisher von allen durchgeführten Experimenten bestätigt. Vorhersagen der ART waren unter anderem Schwarze Löcher und Gravitationswellen – beide wurden bisher indirekt beobachtet [1], [2], [3].
Ursprünglich resultierte die Theorie aus dem Versuch Einsteins, die spezielle Rolle der sogenannten Inertialsysteme aus der Relativitätstheorie zu eliminieren, um allgemeine, beliebig beschleunigte und rotierende Bezugssysteme gleichwertig zu erlauben. Trägheitskräfte lassen sich in inertialen Bezugssystemen lokal nicht von den Gravitationskräften unterscheiden, wodurch die Allgemeine Relativitätstheorie als eine Theorie der gravitativen Wechselwirkung gilt. Der Widerstand gegen eine Änderung der Geschwindigkeit (Trägheit) ist somit identisch mit der Ladung der Gravitation. Nimmt man die Erkenntnisse der speziellen Relativitätstheorie hinzu, nämlich dass Ort und Zeit und damit auch der Quotient, die Geschwindigkeit, zusammen eine vierdimensionale Raumzeit aufspannen und somit geometrische Größen darstellen, ergibt sich die Erkenntnis, dass Schwerkraft und Masse geometrische Größen sein müssen [1], [3].
Da außerdem die Äquivalenz von Masse und Energie gilt und wie zuvor erläutert Gravitation, Schwerkraft und Massenanziehung Krümmung der Raumzeit ist, krümmt jede Energieansammlung dementsprechend die Raumzeit. Für einen wirklich messbaren Effekt muss jedoch eine große Menge Energie in Raum und Zeit konzentriert werden.
Laut Einsteins Theorie breitet sich das Gravitationsfeld, genau wie auch das elektromagnetische Feld, wellenförmig und mit Lichtgeschwindigkeit aus. 2015 konnten diese Gravitationswellen erstmals direkt nachgewiesen werden [1], [4].
Schwarze Löcher, eine Vorhersage der ART, vereinen eine so große Masse bzw. Energie in sich, dass sie sowohl eine messbare Krümmung der Raumzeit bewirken, als auch sie so extrem krümmen, dass auch kein Licht mehr entkommen kann [1], [2].
Um die Feldgleichungen für seine Allgemeine Relativitätstheorie zu finden orientierte sich Einstein am Prinzip der allgemeinen Kovarianz, um die Formulierung der physikalischen Gesetze unabhängig vom Bezugssystem zu erhalten. Die mathematische Konsequenz war die Formulierung in tensoriellen Größen. Die Feldgleichungen bestimmen die Geometrie der Raumzeit in Abhängigkeit davon, wie sie bei bestimmter Energie- und Masseverteilung gekrümmt ist. Die Einstein-Gleichungen lauten
wobei Gαβ der Einstein-Tensor ist. Die kosmologische Konstante Λ war nicht Teil der ursprünglichen Formulierung der Feldgleichungen sondern wurde 1917 von Einstein hinzugefügt, um einen statischen Kosmos beschreiben zu können. Κ beschreibt die Einsteinsche Gravitationskonstante und lässt sich über
mit der Newtonschen Gravitationskonstante in Relation setzen, wobei c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ist [1], [2], [3].
Die Feldgleichungen bilden ein System von zehn nichtlinearen, gekoppelten, partiellen Differentialgleichungen zur Bestimmung der Komponenten des Gravitationspotentials gαβ.
Aus den Einstein-Gleichungen lässt sich die lokale Energie-Impuls-Erhaltungsgleichung herleiten, woraus sich wiederum die sogenannte geodätische Gleichung, also die Bewegungsgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie herleiten lässt:
Die Einstein-Gleichung beschreibt wie sich die Materie im Universum der Raumzeit-Geometrie krümmen „soll“ und die Bewegungsgleichung beschreibt über die Raumzeit-Geometrie, wie sich die Materie bewegen „soll“. Letzteres zeigt den Einfluss des Machschen Prinzip in die Allgemeinen Relativitätstheorie [1], [3], [4].
[1] Lexikon der Physik: Allgemeine Relativitätstheorie, (Link: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/allgemeine-relativitaetstheorie/383), aufgerufen am 29.07.2020 [2] Einstein, A.: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Ann. D. Phys. 49; 1916 [3] Einstein, Albert: Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie; 2009 [4] D’Inverno, R.: Einführung in die Relativitätstheorie, 1995Weiterführende Literatur:
[5] Ciufolini, I.; Wheeler, J.A.: Gravitation and Inertia, 1995 [6] Sexy, R.U.; Urbantke, H.K.: Gravitation und Kosmologie, 1995 [7] Mielke, E.W.: Sonne, Mond und … Schwarze Löcher, 1997 [8] Fließbach, Torsten: Allgemeine Relativitätstheorie, 2016 [9] Lämmerzahl, Claus: Am Rande des Messbaren. Quantengravitation im Experiment, 29.04.2008 [10] Boblest, Sebastian; Müller, Thomas; Wunner, Günther: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie, Grundlagen, Anwendungen in Astrophysik und Kosmologie sowie relativistische Visualisierung; 2016